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ELEMENTOS
FUNDAMENTALES DE GEOMETRÍA
Conceptos
fundamentales
Punto ·
Recta
Plano
Semirrecta: porción de recta limitada en un extremo por un punto
Semiplano: es cada una de las partes en que queda dividido un plano
por una cualquiera de sus rectas.
Segmento:
porción de recta comprendida entre dos de sus puntos, llamados extremos.
Rectas paralelas: son aquellas que pertenecen al mismo plano y no
tienen ningún punto en común.
Rectas secantes: son rectas que se cortan y dividen por tanto al
plano en cuatro regiones.
Un caso particular de
rectas secantes son las perpendiculares, que dividen al plano en cuatro
regiones iguales.
Mediatriz de un segmento: es la recta perpendicular trazada en su
punto medio.
Cualquier
punto de la mediatriz equidista de los extremos del segmento.
Ángulo: es una región del plano limitada por dos semirrectas, que
se llaman lados, y que tienen un
punto común que se llama vértice.
Clasificación de los ángulos:
- recto: cuando los dos
lados son perpendiculares
- agudo:
la abertura de los lados es menor que un ángulo recto
- obtuso: la abertura
de los lados es mayor que un ángulo recto
Bisectriz de un ángulo: es la semirrecta que divide al ángulo en
dos ángulos iguales.
Cualquier
punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo.
Línea poligonal: es una figura formada por varios segmentos unidos por sus extremos.
Cuando
el extremo del último segmento coincide con el origen del primero, la línea
poligonal se llama cerrada, y en
caso de que no coincidan, abierta.
Polígono:
es la región del plano limitada por una línea poligonal cerrada.
Los
elementos de los polígonos son:
a)
Lados: segmentos que limitan el polígono, AB, BC, CD, DA.
b)
Perímetro: suma de las longitudes de los lados.
c)
Vértices: Puntos donde se unen dos lados consecutivos, A, B, C, D. En todo
polígono el nº de lados y vértices coincide.
d)
Diagonales: son los segmentos que unen vértices no consecutivos.
e)
Ángulos interiores: son los ángulos formados por lados consecutivos.
f) Ángulos exteriores: son los
ángulos formados por un lado y la prolongación de otro consecutivo.
Ángulo interior = ABC
Ángulo exterior = CBF
Clasificación de los polígonos:
a) Por el número de lados:
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
Eneágono
Decágono
b) Por su forma:
Equilátero:
lados iguales
Equiángulo:
ángulos iguales
Regular:
lados y ángulos iguales
Irregular:
lados y ángulos desiguales
Un
polígono se halla inscrito en una
circunferencia cuando todos sus vértices están contenidos el ella. Se dice
entonces que la circunferencia está circunscrita al polígono.
Un polígono se halla circunscrito a una circunferencia
cuando todos sus lados son tangentes (tocan en un solo punto) a la misma. Se
dice entonces que la circunferencia está inscrita en el polígono.
Medida de ángulos
Puesto
que el ángulo recto resulta una medida demasiado grande para medir ángulos, se
definen otro tipo de unidades:
a) División sexagesimal
La
unidad que habitualmente se utiliza es el grado
centesimal, que es la noventava parte de un ángulo recto. Por lo tanto una
circunferencia tiene 4 ángulos rectos * 90º cada uno = 4·90 = 360º
Minuto sexagesimal es la sesentava parte de un grado
sexagesimal. 1º = 60'
Segundo sexagesimal es la sesentava parte de un
minuto sexagesimal. 1' = 60''
b) División centesimal (no se suele
utilizar)
La unidad
es el grado centesimal, que es la
centésima parte de un ángulo recto. Por lo tanto una circunferencia tiene 4
ángulos rectos *100g = 4·100g = 400g
Minuto centesimal es la centésima parte de un grado
centesimal. 1g = 100m
Segundo centesimal es la centésima parte de un
minuto centesimal. 1m = 100s
c) Radián
Un radián es el ángulo cuyo arco tiene la
longitud igual al radio de una circunferencia centrada en el vértice.
Como ya
veremos el perímetro de una circunferencia es 2·p·R = 2·3'14·R=6'28·R es decir el
perímetro de una circunferencia es aproximadamente 6 veces el radio de la
circunferencia que nosotros dibujemos. Por lo tanto en un giro completo hay
6'28 radianes, es decir:
1 revolución = 360º = 2·p radianes
Si
hacemos una regla de tres:
360º ® 2·p radianes
xº ® 1 radián
x =
360/2·p = 57'29º
En el
caso de que tengamos que pasar de grados a radianes (o a la inversa)
resolveremos una regla de tres, siempre dejando el valor de p sin operar, por ejemplo:
¿Cuántos
radianes son 30º?
360º ® 2·p radianes
30º ® x radianes
x =
30·2·p/360 = p/6 radianes
¿Cuántos
grados son p/4 radianes?
360º ® 2·p radianes
x® p/4 radianes
x =
(360·p/4)/2p = 45º
Expresión
compleja y decimal de la medida de un ángulo sexagesimal
La
medida de un ángulo puede venir expresada en grados, minutos y segundos, o en
una sola unidad:
8º 30' 36'' ® 8'51º
Forma compleja ® Forma decimal
Veamos
como se pasa de una a otra:
8º 30'
36'' = 8º 30' 36/60' = 8º 30' 0'6' = 8º 30'6' = 8º 30'6/60º = 8º 0'51º = 8'51º
8'51º =
8º 0'51·60' = 8º 30'6' = 8º 30' 0'6·60'' = 8º 30' 36''
Operaciones con medidas de ángulos
sexagesimales
a) Suma
Para
sumar ángulos deberemos sumar grados con grados, minutos con minutos y segundos
con segundos.
32º 15' 6'' |
34º 23' 35'' |
Si el
resultado de alguna de estas sumas es mayor o igual que 60, lo pasamos a la
unidad inmediatamente superior.
15º 20' 16'' |
35º 50' 70'' |
Teniendo
en cuenta que 70'' = 1' 10'' el resultado de la suma lo expresaríamos como:
35º 51'
10''
Importante: si la suma de dos ángulos es
90º, es decir, juntos forman un ángulo recto, se dice que son complementarios. Si la suma de dos
ángulos es 180º, es decir, forman un ángulo llano, se dice que son suplementarios.
b) Resta
La
operación se dispone igual que la suma
30º 31' 12'' |
|
Puesto
que no podemos restarle 48'' a 12'' debemos modificar el minuendo pasando 1
minuto a segundos: 30º 31' 12'' = 30º 30' 72''
Con lo
cual ya podemos realizar la resta:
30º 30' 72'' |
30º 8' 24'' |
c)Multiplicación
Para
multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar los grados
minutos y segundos por ese número:
4º 20' 10'' |
20º 100' 50'' |
Ahora
bien como 100' = 1º 40' se tiene que: 20º 100' 50'' = 21º 40' 50''
d)
División
Par
dividir un ángulo entre un número natural, se dividen por separado grados,
minutos y segundos entre este número natural:
206º |
37' |
46'' |
5 |
06º |
|
|
41º
19' 33'' |
1ºx60 = |
60' |
|
|
|
97' |
|
|
|
47' |
|
|
|
2'x60 = |
120'' |
|
|
|
166'' |
|
|
|
16 |
|
|
|
1'' |
|
Otra
forma de operar con grados sexagesimales sería convertir los ángulos a grados
solamente y operar con ellos, y después si se quiere convertirlo otra vez a
grados minutos y segundos.
32º
15' 6'' = |
32º +
15/60º + 6/3600º = |
32º +
0'25º + 0'00166 = |
32'25166º |
2º 8'
29'' = |
2º +
8/60º + 29/3600º = |
2º +
0'133º + 0'00805º = |
2'14105º |
|
|
|
34'39271º |
34º
0'39271·60
= 23'5626'
0'5626·60
= 35''
Por lo
que obtendríamos el mismo resultado: 34º 23' 35''
TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
Triángulos. Clasificación.
Como ya
vimos los triángulos son polígonos de 3 lados y por lo tanto 3 ángulos. Se
pueden clasificar:
a) Por sus lados:
Equilátero, si tiene los tres lados iguales
Isósceles, si tiene dos lados iguales
Escaleno, si tiene los tres lados diferentes
b) Por sus ángulos:
Rectángulo, si tiene un ángulo recto
Acutángulo, si sus tres ángulos son agudos
Obtusángulo, si tiene un ángulo obtuso
En los
triángulos rectángulos el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y
los otros dos lados, catetos.
Propiedades del triángulo
1.En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos, pero
mayor que su diferencia.
En la
figura se observa que si a fuese mayor que b+c entonces no podríamos juntar sus
lados. Pero por otro lado a-b tampoco puede ser mayor que c para que se puedan
unir.
2.La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.
Los
lados alternos internos a las paralelas son iguales.
Como por
otro lado un ángulo llano mide 180º tenemos que a + b + c = 180º
3.Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos
ángulos interiores no adyacentes.
Rectas y puntos notables de un triángulo
Mediatrices: son las rectas perpendiculares trazadas en
los puntos medios de los lados.
Las tres
mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que se llama circuncentro que equidista de los vértices del triángulo y por lo tanto es el centro
de la circunferencia circunscrita al
triángulo.
Bisectrices: son las semirrectas que dividen en dos partes iguales
los ángulos interiores al triángulo.
Las tres
bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro que equidista de los lados del triángulo y por lo tanto es
el centro de la circunferencia inscrita
al triángulo.
Alturas: son los segmentos perpendiculares a un lado o a su prolongación, trazados desde el
vértice opuesto
Las tres
alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro.
Medianas: son los segmentos que unen un vértice con el punto medio
del lado opuesto.
Las tres
medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro o centro de gravedad.
Teorema de Pitágoras
'' En un triángulo
rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa ''
Cuadriláteros. Clasificación.
Los
cuadriláteros como su propio nombre indica son aquellos polígonos de cuatro
lados y por lo tanto cuatro ángulos. Se clasifican según el paralelismo de sus
lados en:
1.Trapezoides son los que no tienen ningún lado paralelo a otro.
2.Trapecios son los cuadriláteros con dos lados paralelos.
Los
trapecios se pueden clasificar en:
-
Trapecio rectángulo, es el que tiene dos ángulos rectos
- Trapecio
isósceles, es el que tiene los lados no paralelos iguales
- Trapecio
escaleno, sin ninguna propiedad específica
3.Paralelogramos son aquellos cuadriláteros que tienen los lados
paralelos dos a dos
y por lo
tanto los ángulos opuestos (no adyacentes) son iguales y los lados opuestos son
iguales.
Los
paralelogramos se pueden clasificar en:
- Rectángulo,
es el paralelogramo que tiene los 4 ángulos iguales
(rectos), pero los lados adyacentes no son iguales.
- Cuadrado,
es el que tiene los 4 lados y 4 ángulos iguales.
- Rombo,
es el que tiene los 4 lados iguales, y los ángulos opuestos iguales.
- Romboide,
cuando no es ninguno de los anteriores.
ÁREAS Y VOLÚMENES
Áreas de figuras planas
Nota: en
el caso del hexágono regular, se puede calcular el área como la suma de 6 triángulos equiláteros, en los demás
polígonos regulares se podrá calcular como la suma de triángulos isósceles.
Poliedros. Clasificación
Un poliedro es un cuerpo geométrico que
está limitado por cuatro o más polígonos. Los polígonos que limitan al poliedro
se llaman caras del poliedro, y los
lados y vértices de las caras son las aristas
y vértices del poliedro respectivamente.
Los poliedros regulares son aquellos cuyas
caras son polígonos regulares iguales y concurren el mismo número de ellas en
cada vértice.
Solo existen 5 poliedros
regulares que son:
Dentro
de los poliedros podemos distinguir dos casos especiales:
1º) Prismas: son poliedros que tienen dos caras iguales y paralelas llamadas bases,
y sus otras caras laterales son paralelogramos. Lógicamente tendrá tantas
caras laterales como lados tenga la base.
Los
prismas se clasifican en:
a) Rectos y oblicuos. Un prisma es recto
cuando el ángulo entre las caras laterales y las bases es recto, en caso
contrario se dice que el prisma es oblicuo.
b) Regulares e irregulares. Un prisma es
regular cuando es recto y sus bases son polígonos regulares, en caso
contrario se dice que el prisma es irregular.
c) Por el número de lados de sus bases:
-Triangulares, si sus bases son triángulos
- Cuadrangulares, si sus bases son
cuadriláteros
- Pentagonales,....etc.
Uno de
los prismas cuadrangulares más importante es el paralelepípedo que tiene por bases dos paralelogramos, es decir, todas
sus caras (6) son paralelogramos. Dentro de los paralelepípedos podemos
encontrar algunos casos importantes como son el cubo (todas sus caras son cuadrados), ortoedro (todas sus caras son rectángulos), romboedro (todas sus caras son rombos) y rombodiedro (todas sus caras son romboides).
Veamos algunos ejemplos de
prismas:
Nota: no
olvidar que si un prisma es regular entonces es recto y si es oblicuo es
irregular y por tanto no es necesario decirlo.
Nota: La
mejor forma de nombrarlos es: prisma recto de base pentagonal irregular, prisma
oblicuo de base cuadrada, prisma recto de base triangular irregular y prisma
recto de base rectangular.
2º) Pirámides: son poliedros en los que una de sus caras (llamada base) es un polígono
y las otras caras laterales son triángulos que tienen un vértice común.
Las
pirámides se clasifican en:
a) Rectas y oblicuas. Una pirámide es
recta cuando el pie de su altura coincide con el centro de su base, o lo que es
lo mismo, cuando las caras laterales no son triángulos escalenos. En caso
contrario tendremos un pirámide oblicua.
b) Regulares e irregulares. Una pirámide
es regular cuando es recta y su base es un polígono regular. En caso
contrario será irregular.
c) Por el número de lados de su base:
- Triangular
- Cuadrangular
- Pentagonal,....etc.
Si una
pirámide es cortada por un plano paralelo a la base obtendremos lo que se llama
tronco de pirámide.
Veamos algunos ejemplos de
pirámides:
Nota: la
mejor forma de nombrarlos es: pirámide recta de base hexagonal regular, pirámide
oblicua de base cuadrada
Cuerpos redondos o de revolución
Un
cuerpo redondo se obtiene al girar un recinto plano alrededor de un eje situado
en el mismo plano, de modo que cada punto del recinto describe una
circunferencia al dar una vuelta completa.
Si un rectángulo gira sobre
un lado describe un cilindro.
Si un triángulo rectángulo
gira sobre un cateto describe un cono.
Si un semicírculo gira
sobre su diámetro describe una circunferencia.
Áreas laterales y volúmenes de los poliedros
y cuerpos redondos
Vprisma = área de la base ·
altura = B · h
Vcilindro = área de la base ·
altura = B · h =
p·r2
· h
Vpirámide = 1/3.área de la
base.altura =
Vcono = 1/3.área de la base.altura
= =
Vesfera =
Si la
figura geométrica no es recta, si no que es oblicua, las fórmulas siguen siendo
válidas siempre y cuando se tenga claro cual es la altura de la figura que se
está estudiando y no se confunde con alguna de las medidas de las áreas
laterales.
Lógicamente
también es necesario recordar cuales son las áreas de las figuras planas más
importantes, para poder calcular la base de la figura geométrica.
Para
poder calcular el volumen de un tronco de pirámide o cono deberíamos calcular
el volumen de la pirámide o cono mayor, menos el menor.
A prisma = 2·Abase + SAlaterales
A pirámide = Abase + SAlaterales
A tronco de pirámide = Amayor + Amenor
+ SAlaterales
A cilindro = 2·p·r2 + 2·p·r·h (en este caso h = g)
A esfera = 4·p·r2
A cono = p·r2 + p·r·g ya que
2pg ® |
360 |
2pr ® |
n =
360·2pr/2pg = 360r/g |
Área
sector circular = pR2n/360 = pg2360r/360g = prg